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冪函數、指數函數和對數函數·對數及其運算法則
作者:佚名 文章來源:本站原創 點擊數:193037 更新時間:2006/2/20 23:27:41

教學目標

1.理解并記憶對數的定義,對數與指數的互化,對數恒等式及對數的性質.

2.理解并掌握對數運算法則的內容及推導過程.

3.熟練運用對數的性質和對數運算法則解題.

教學重點與難點

重點是對數定義、對數的性質和運算法則.難點是對數定義中涉及較多的難以記憶的名稱,以及運算法則的推導.

教學過程設計

師:(板書)已知國民生產總值每年平均增長率為7.2%,求20年后國民生產總值是原來的多少倍?

生:設原來國民生產總值為1,則20年后國民生產總值y=1+7.2%)20=1.07220,所以20年后國民生產總值是原來的1.07220倍.

師:這是個實際應用問題,我們把它轉化為數學中知道底數和指數,求冪值的問題.也就是上面學習的指數問題.

師:(板書)已知國民生產總值每年平均增長率為7.2%,問經過多年年后國民生產總值是原來的4倍?

師:(分析)仿照上例,設原來國民生產總值為1,需經x年后國民生產總值是原來的4倍.列方程

1.072x=4

我們把這個應用問題轉化為知道底數和冪值,求指數的問題,這是上述問題的逆問題,即本節的對數問題.

師:(板書)一般地,如果aa0a1)的b次冪等于N,就是ab=N,那么數b就叫做以a為底N的對數,記作

logaN=b

其中a叫做底數,N叫做真數,式子logaN叫做對數式.

師:請同學談談對對數這個定義的認識.

生:對數式logaN實際上就是指數式中的指數b的一種新的記法.

生:對數是一種新的運算.是知道底和冪值求指數的運算.

(此刻并不奢望學生能說出什么深刻認識,只是給他們自己一個去思維認識對數這個定義的機會.)

師:他們說得都非常好.實際上ab=N這個式子涉及到了三個量abN,由方程的觀點可得“知二求一”.知道ab可求N,即前面學過的指數運算;知道b(為自然數時),N可求a,即初中學過的開

記作logaN=b.因此,對數是一種新的運算,一種知道底和冪值求指數的運算.而每學一種新的運算,首先要學習它的記法,對數運算的記法為logaN,讀作:以a為底N的對數.請同學注意這種運算的寫法和讀法.

師:實際上指數與對數只是數量間的同一關系的兩種不同形式.為了更深入認識并記憶對數這個概念,請同學們填寫下列表格.(打出幻燈)

   

 

式子

名稱

a

b

N

指數式

對數式

ab=N

logaN=b

 

 

 

練習1  把下列指數式寫成對數形式:

練習2  把下列對數形式寫成指數形式:

練習3  求下列各式的值:

(兩名學生板演練習12題(過程略),一生板演練習三.)

因為22=4,所以以2為底4的對數等于2

因為53=125,所以以5為底125的對數等于3

(注意糾正學生的錯誤讀法和寫法.)

師:由定義,我們還應注意到對數式logaN=b中字母的取值范圍是什么?

生:a0a1bRNR

師:NR?(這是學生最易出錯的地方,應一開始讓學生牢牢記住真數大于零.)

生:由于在實數范圍內,正數的任何次冪都是正數,因而ab=NN總是正數.

師:要特別強調的是:零和負數沒有對數.

師:定義中為什么規定a0a1

(根據本班情況決定是否設置此問.)

生:因為若a0,則N取某些值時,b可能不存在,如b=log-28不存在;若a=0,則當N不為0時,b不存在,如log02不存在;當N0時,b可以為任何正數,是不唯一的,即log00有無數個值;若a=1N不為1時,b不存在,如log13不存在,N1時,b可以為任何數,是不唯一的,即log11有無數多個值.因此,我們規定:a0a1

(此回答能培養學生分類討論的數學思想.這個問題從ab=N出發回答較為簡單.)

師:下面我來介紹兩個在對數發展過程中有著重要意義的對數.

師:(板書)對數logaNa0a1)在底數a=10時,叫做常用對數,簡記lgN;底數a=e時,叫做自然對數,記作lnN,其中e是個無理數,即e2.718 28…….

練習4  計算下列對數:

lg10000lg0.012log243log32710lg1055log51125

師:請同學說出結果,并發現規律,大膽猜想.

生:2log24=4.這是因為log24=2,而22=4

生:3log327=27.這是因為log327=3,而33=27

生:10lg105=105

生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125

師:非常好.這就是我們下面要學習的對數恒等式.

師:(板書)

alogaN=Na0a1N0).(用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線)

(再次鼓勵學生,并提出更高要求,給出嚴格證明.)

(學生討論,并口答.)

生:(板書)

證明:設指數等式ab=N,則相應的對數等式為logaN=b,所以ab=alogaN=N

師:你是根據什么證明對數恒等式的?

生:根據對數定義.

師:(分析小結)證明的關鍵是設指數等式ab=N.因為要證明這個對數恒等式,而現在我們有關對數的知識只有定義,所以顯然要利用定義加以證明.而對數定義是建立在指數基礎之上的,所以必須先設出指數等式,從而轉化成對數等式,再進行證明.

師:掌握了對數恒等式的推導之后,我們要特別注意此等式的適用條件.

生:a0a1N0

師:接下來觀察式子結構特點并加以記憶.

(給學生一分鐘時間.)

師:(板書)2log28=2log42=

生:2log28=82log42=2

師:第2題對嗎?錯在哪兒?

師:(繼續追問)在運用對數恒等式時應注意什么?

(經歷上面的錯誤,使學生更牢固地記住對數恒等式.)

生:當冪的底數和對數的底數相同時,才可以用公式

alogaN=N

(師用紅筆在兩處a上重重地描寫.)

師:最后說說對數恒等式的作用是什么?

生:化簡!

師:請打開書74頁,做練習4

(生口答.略)

師:對對數的定義我們已經有了一定認識,現在,我們根據定義來進一步研究對數的性質.

師:負數和零有沒有對數?并說明理由.

生:負數和零沒有對數.因為定義中規定a0,所以不論b是什么數,都有ab0,這就是說,不論b是什么數,N=ab永遠是正數.因此,由等式b=logaN可以看到,負數和零沒有對數.

師:非常好.由于對數定義是建立在指數定義的基礎之上,所以我們要充分利用指數的知識來研究對數.

師:(板書)性質1:負數和零沒有對數.

師:1的對數是多少?

生:因為a0=1a0a1),所以根據對數定義可得1的對數是零.

師:(板書)1的對數是零.

師;底數的對數等于多少?

生:因為a1=a,所以根據對數的定義可得底數的對數等于1

師:(板書)底數的對數等于1

師:給一分鐘時間,請牢記這三條性質.

師:在初中,我們學習了指數的運算法則,請大家回憶一下.

生:同底數冪相乘,底數不變,指數相加,即am·an=am+n.同底數冪相除,底數不變,指數相減,即am÷an=am-n.還有(amn=amn

師:下面我們利用指數的運算法則,證明對數的運算法則.(板書)

1)正因數積的對數等于同一底數各個因數的對數的和.即

logaMN=logaM+logaN

(請兩個同學讀法則(1),并給時間讓學生討論證明.)

師:(分析)我們要證明這個運算法則,用眼睛一瞪無從下手,這時我們該想到,關于對數我們只學了定義和性質,顯然性質不能證明此式,所以只有用定義證明.而對數是由指數加以定義的,顯然要利用指數的運算法則加以證明,因此,我們首先要把對數等式轉化為指數等式.

師:(板書)設logaM=plogaN=q,由對數的定義可以寫成M=apN=aq.所以

M·N=ap·aq=ap+q

所以

logaM·N=p+q=logaM+logaN

logaMN=logaM+logaN

 

師:這個法則的適用條件是什么?

生:每個對數都有意義,即M0N0a0a1

師:觀察法則(1)的結構特點并加以記憶.

生:等號左端是乘積的對數,右端是對數的和,從左往右看是一個降級運算.

師:非常好.例如,(板書)log232×64=

生:log232×64=log232+log264=5+6=11

師:通過此例,同學應體會到此法則的重要作用——降級運算.它使計算簡化.

師:(板書)log62+log63=

生:log62+log63=log62×3=1

師:正確.由此例我們又得到什么啟示?

生:這是法則從右往左的使用.是升級運算.

師:對.對于運算法則(公式),我們不僅要會從左往右使用,還要會從右往左使用.真正領會法則的作用!

師:(板書)(2)兩個正數的商的對數等于被除數的對數減去除數的對數.

師:仿照研究法則(1)的四個步驟,自己學習.

(給學生三分鐘討論時間.)

生:(板書)設logaM=plogaN=q.根據對數的定義可以寫成M=apN=aq.所以

師:非常好.他是利用指數的運算法則和對數的定義加以證明的.大家再想一想,在證明法則(2)時,我們不僅有對數的定義和性質,還有法則(1)這個結論.那么,我們是否還有其它證明方法?

生:(板書)

師:非常漂亮.他是運用轉化歸結的思想,借助于剛剛證明的法則(1)去證明法則(2).他的證法要比書上的更簡單.這說明,轉化歸結的思想,在化難為易、化復雜為簡單上的重要作用.事實上,這種思想不但在學習新概念、新公式時常常用到,而且在解題中的應用更加廣泛.

師:法則(2)的適用條件是什么?

生:M0N0a0a1

師:觀察法則(2)的結構特點并加以記憶.

生:等號左端是商的對數,右端是對數的差,從左往右是一個降級運算,從右往左是一個升級運算.

師:(板書)lg20-lg2=

師:可見法則(2)的作用仍然是加快計算速度,也簡化了計算的方法.

師:(板書)

1  計算:

生:(板書)

1log93+log927=log93×27=log981=2

3log24+4=log24+log24=4

(由學生判對錯,并說明理由.)

生:第(2)題錯!在同底的情況下才能運用對數運算法則.(板書)

生:第(3)題錯!法則(1)的內容是:

生:第(4)題錯!法則(2)的內容是:

師:通過前面同學出現的錯誤,我們在運用對數運算法則時要特別注意什么?

生:首先,在同底的情況下才能從右往左運用法則(1)、(2);其次,只有在正因數的或兩個正數的的對數的情況下,才能從左往右運用運算法則(1)、(2).

師:(板書)(3)正數的冪的對數等于冪的底數的對數乘以冪指數.即

logaNn=n·logaN

師:(分析)欲證logaNn=n·logaN,只需證

Nn=an·logaN=a·logaNn

只需證

N=alogaN

 

由對數恒等式,這是顯然成立的.

師:(板書)設N0,根據對數恒等式有

N=alogaN

所以

Nn=alogaNn=an·logaN

 

根據對數的定義有

logaNn=n·logaN

師:法則(3)的適用條件是什么?

生:a0a1N0

師:觀察式子結構特點并加以記憶.

生:從左往右仍然是降級運算.

師:例如,(板書)log332=log525=5log52.練習計算(log2323

(找一好一差兩名學生板書.)

錯解:(log2323=log2253=log2215=15

正確解:(log2323=log2253=5log223=53=125

(師再次提醒學生注意要準確記憶公式.)

師:(板書)(4)正數的正的方根的對數等于被開方數的對數除以根指數.即

師:法則(4)的適用條件是什么?

生:a0a1N0

師:法則(3)和法則(4)可以合在一起加以記憶.即logaNα=αlogaN(α∈R).(師板書)

2  logaxlogaylogaz表示下列各式:

(生板書)

(注意(3)的第二步不要丟掉小括號.)

(師板書)

3  計算:

(生板書)

1log247×25=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19

師:請大家在筆記本上小結這節課的主要內容.

作業  課本P78.習題第1234題.

課堂教學設計說明

本節的教學過程是:

1.從實際問題引入,給出對數定義;

2.深刻認識對數定義;

3.對數式與指數式的互化;

4.對數恒等式alogaN=N

5.對數的性質;

6.對數運算法則;

7.例題·小結·作業.

通過本節課,應使學生明確如何學習一種運算(從定義、記法、性質、法則等方面來研究);如何學習公式或法則(從公式推導,適用條件,結構特點和記憶以及公式作用四方面來研究).針對高中數學內容多、密度大、進度快的特點,應使學生盡早地掌握適應高中數學的學習方法.

內容錄入:景天昊言    責任編輯:景天昊言 
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